Fracciones: qué son, valor y signo de una fracción, tipos de fracciones, cómo se comparan las fracciones positivas y negativas

Fracciones ordinarias: ¿qué son?

Si tenemos que dividir uniformemente 6 manzanas por 3 niños, entonces realizamos la operación:

  • 6 ÷ 3 = 2
  • entonces sabemos que cada niño obtendrá 2 manzanas.

Si tenemos que dividir equitativamente 2 manzanas por 3 niños, entonces realizamos la operación:

  • 2 ÷ 3 = ?
  • esta operación no tiene solución en el conjunto de números naturales;
  • sin embargo podremos dividir las manzanas con la ayuda de un cuchillo: la cantidad de manzana para cada niño se definirá utilizando la fracción 2/3
  • todos los casos similares conducen a fracciones.

Las fracciones se forman dividiendo números:

  • cada fracción tiene la forma a/b
  • "a" es el numerador, escrito sobre la línea de fracción;
  • "b" es el denominador, escrito debajo de la línea de fracción; "b" no puede ser cero;
  • "b" nos muestra en cuántas partes iguales se ha dividido "a";
  • el valor de la fracción se calcula dividiendo el numerador, "a", por el denominador, "b":
  • "a" ÷ "b"
  • Estas fracciones, en las que tanto el numerador como el denominador son enteros, se denominan fracciones ordinarias (también llamadas comunes o simples).

La regla del signo cuando multiplicamos o dividimos:

  • (+)(+) = (+)
  • (+)(-) = (-); (-)(+) = (-)
  • (-)(-) = (+)

Los signos de los numeradores y los denominadores:

  • Los numeradores y denominadores de una fracción pueden ser enteros positivos o negativos.
  • Ejemplo de fracciones con numeradores y denominadores positivos: 7/6, 3/4, 13/20
  • Ejemplo de fracciones con numeradores y denominadores negativos: -7/-6, -3/-4, -13/-20
  • Ejemplo de fracciones con numeradores y denominadores positivos y / o negativos: -7/6, 3/-4, -13/-20

El signo de una fracción:

  • Los signos del numerador y el denominador se combinan en un solo signo, de acuerdo con la regla del signo, descrita anteriormente, y se colocan frente a la fracción, por lo que las fracciones anteriores se convierten en:
  • -7/-6 = (-)(-)7/6 = (+)7/6 = 7/6
  • -3/-4 = (-)(-)3/4 = (+)3/4 = 3/4
  • -13/-20 = (-)(-)13/20 = (+)13/20 = 13/20
  • -7/6 = (-)(+)7/6 = (-)7/6 = - 7/6
  • 3/-4 = (+)(-)3/4 = (-)3/4 = - 3/4
  • -13/-20 = (-)(-)13/20 = (+)13/20 = 13/20

Tipos de fracciones ordinarias:

  • Valor absoluto de un número = el valor numérico de un número sin considerar su signo. Por ejemplo, el valor absoluto de -7 (escrito como | -7 |) es 7. Más ejemplos: |-17| = 17; |10| = 10; |-123| = 123;
  • Fracciones propias: 2/3, 1/7, 5/9, - 11/13, 10/11, -15/-16 - el valor absoluto del numerador es menor que el valor absoluto del denominador, por lo que el valor absoluto de la fracción es menor que 1.
  • Fracciones impropias: 4/3, 16/3, 9/8, 123/-13 - el valor absoluto del numerador es mayor o igual que el valor absoluto del denominador, por lo que el valor absoluto de la fracción es mayor o igual a 1;
    • Las fracciones impropias se pueden escribir como fracciones mixtas (también llamadas números mixtos):
    • 4/3 = 3/3 + 1/3 = 1 + 1/3, que está escrito como: 1 1/3
    • 16/3 = 15/3 + 1/3 = 5 + 1/3, que está escrito como: 5 1/3
    • 9/8 = 8/8 + 1/8 = 1 + 1/8, que está escrito como: 1 1/8
    • 123/-13 = - 123/13 = - (117 + 6)/13 = - 117/13 - 6/13 = - 9 - 6/13, que está escrito como: - 9 6/13
    • Observe que una fracción mixta consiste en un número entero y una fracción propia, ambos con el mismo signo.
  • Si el numerador de una fracción es igual al denominador de otra fracción y viceversa, entonces las fracciones se denominan inversa: 3/5 y 5/3; 17/6 y 6/17 - el producto de una fracción y su fracción inversa es 1.

¿Cómo se comparan las fracciones positivas?

  • Si dos fracciones positivas tienen denominadores iguales, entonces cuanto mayor sea el numerador de la fracción, mayor será la fracción: 2/7 < 6/7. ¿Por qué? 7 partes de un número mayor (6) siempre es mayor que 7 partes de un número menor (2); se dice que las fracciones son homogéneas si tienen el mismo denominador;
  • Si dos fracciones positivas tienen numeradores iguales, entonces cuanto mayor sea el denominador de la fracción, menor será la fracción: 5/9 < 5/7. ¿Por qué? Cuando dividimos la misma cantidad (5) en menos partes (7), el resultado es mayor que cuando lo dividimos en varias partes más (9);
  • Si dos fracciones positivas tienen numeradores y denominadores diferentes:
    • cualquier fracción propia positiva (menor que 1) es menor que cualquier fracción impropia positiva (mayor o igual a 1):
    • 3/7 < 1 < 5/2
    • si las fracciones son ambas propias o impropias, primero encuentre un denominador común, luego siga la regla: cuanto mayor es el nuevo numerador, mayor es la fracción:
    • 8/9 ? 5/7
    • (8 × 7) / (9 × 7) ? (5 × 9) / (7 × 9)
    • 56/63 > 45/63
    • 8/9 > 5/7 - las fracciones son heterogéneas si tienen diferentes denominadores.

¿Cómo se comparan las fracciones negativas?

  • Si dos fracciones negativas tienen denominadores iguales, cuanto mayor sea el numerador de la fracción, menor será la fracción: - 2/7 > - 6/7 - se dice que las fracciones son homogéneas si tienen el mismo denominador;
  • Si dos fracciones negativas tienen numeradores iguales, entonces cuanto mayor sea el denominador de la fracción, mayor será la fracción: - 5/9 > - 5/7
  • Si dos fracciones negativas tienen numeradores y denominadores diferentes:
    • cualquier fracción propia negativa (mayor que -1) es mayor que cualquier fracción impropia negativa (menor o igual a -1):
    • - 3/7 > -1 > - 5/2
    • si las fracciones son ambas propias o impropias, encuentre un denominador común y la fracción con un numerador más grande es la más pequeña:
    • - 8/9 vs. - 5/7
    • - (8 × 7) / (9 × 7) vs. - (5 × 9) / (7 × 9)
    • - 56/63 < - 45/63
    • - 8/9 < - 5/7

Más sobre la teoría de fracciones matemáticas comunes:

Operaciones de fracciones que se pueden ejecutar en línea, con explicaciones: