Brüche: Was sind sie, Wert und Vorzeichen eines Bruchs, Brucharten, wie vergleichen sich positive und negative Brüche

Gemeine Brüche: Was sind sie?

Wenn wir 6 Äpfel gleichmäßig auf 3 Kinder verteilen müssen, führen wir die folgende Operation durch:

  • 6 ÷ 3 = 2
  • so wissen wir, dass jedes kind 2 äpfel bekommt.

Wenn wir 2 Äpfel gleichmäßig auf 3 Kinder verteilen müssen, führen wir die folgende Operation durch:

  • 2 ÷ 3 = ?
  • Diese Operation hat keine Lösung in der Menge der natürlichen Zahlen;
  • Wir werden jedoch in der Lage sein, die Äpfel mit Hilfe eines Messers zu teilen: Die Apfelmenge für jedes Kind wird mit dem Bruchteil 2/3 definiert;
  • Alle ähnlichen Fälle führen zu Brüchen.

Brüche werden durch Teilen von Zahlen gebildet:

  • Jede Fraktion hat die Form a/b
  • "a" ist der Zähler, der über dem Bruchstrich steht;
  • "b" ist der Nenner , der unter dem Bruchstrich steht; "b" darf nicht Null sein;
  • "b" zeigt uns, in wie viele gleiche Teile "a" geteilt wurde;
  • Der Wert des Bruchs wird berechnet, indem der Zähler "a" durch den Nenner "b" geteilt wird:
  • "a" ÷ "b"
  • Diese Brüche, in denen sowohl der Zähler als auch der Nenner ganze Zahlen sind, werden als gemeine Brüche bezeichnet (auch gewöhnliche Brüche genannt).

Die Regel des Zeichens, wenn wir multiplizieren oder teilen:

  • (+)(+) = (+)
  • (+)(-) = (-); (-)(+) = (-)
  • (-)(-) = (+)

Die Vorzeichen der Zähler und der Nenner:

  • Zähler und Nenner eines Bruchs können positive oder negative ganze Zahlen sein.
  • Beispiel für Brüche mit positiven Zählern und Nennern: 7/6, 3/4, 13/20
  • Beispiel für Brüche mit negativen Zählern und Nennern: -7/-6, -3/-4, -13/-20
  • Beispiel für Brüche mit positiven und / oder negativen Zählern und Nennern: -7/6, 3/-4, -13/-20

Das Zeichen eines Bruchs:

  • Die Vorzeichen des Zählers und des Nenners werden zu einem Vorzeichen zusammengefasst und vor den Bruch gesetzt, so dass die obigen Brüche werden:
  • -7/-6 = (-)(-)7/6 = (+)7/6 = 7/6
  • -3/-4 = (-)(-)3/4 = (+)3/4 = 3/4
  • -13/-20 = (-)(-)13/20 = (+)13/20 = 13/20
  • -7/6 = (-)(+)7/6 = (-)7/6 = - 7/6
  • 3/-4 = (+)(-)3/4 = (-)3/4 = - 3/4
  • -13/-20 = (-)(-)13/20 = (+)13/20 = 13/20

Gemeine Fraktionen Typen:

  • Absoluter Wert einer Zahl = der numerische Wert einer Zahl ohne Berücksichtigung ihres Vorzeichens. Zum Beispiel der absolute Wert von -7 (geschrieben als │-7│) ist 7. Mehr Beispiele: |-17| = 17; |10| = 10; |-123| = 123
  • Echte Brüche: 2/3, 1/7, 5/9, - 11/13, 10/11, -15/-16 - Der absolute Wert des Zählers ist kleiner als der absolute Wert des Nenners, daher ist der absolute Wert des Bruchs kleiner als 1.
  • Unechte Brüche: 4/3, 16/3, 9/8, 123/-13 - der absolute Wert des Zählers ist größer oder gleich dem absoluten Wert des Nenners, so dass der absolute Wert des Bruchs größer oder gleich 1 ist;
    • Die unechte Brüche können als gemischte Brüche geschrieben werden:
    • 4/3 = 3/3 + 1/3 = 1 + 1/3, geschrieben als: 1 1/3
    • 16/3 = 15/3 + 1/3 = 5 + 1/3, geschrieben als: 5 1/3
    • 9/8 = 8/8 + 1/8 = 1 + 1/8, geschrieben als: 1 1/8
    • 123/-13 = - 123/13 = - (117 + 6)/13 = - 117/13 - 6/13 = - 9 - 6/13, geschrieben als: - 9 6/13
    • Beachten Sie, dass eine gemischte Bruch aus einer Ganzzahl und einer echte Bruch besteht, die beide dasselbe Vorzeichen haben.

Wie vergleichen sich positive Brüche?

  • Wenn zwei positive Brüche den gleichen Nenner haben, ist der Bruch umso größer, je größer der Zähler des Bruchs ist: 2/7 < 6/7 - Warum? 7 Teile einer größeren Zahl (6) sind immer größer als 7 Teile einer kleineren Zahl (2);
  • Wenn zwei positive Brüche gleiche Zähler haben, ist der Bruch umso kleiner, je größer der Nenner des Bruchs ist: 5/9 < 5/7 - Warum? Wenn wir die gleiche Menge (5) in weniger Teile (7) teilen, ist das Ergebnis größer als wenn wir es in mehr Teile (9) teilen;
  • Wenn zwei positive Brüche unterschiedliche Zähler und Nenner haben:
    • Ein positiver echter Bruch (kleiner als 1) ist kleiner als ein positiver unechter Bruch (größer oder gleich 1):
    • 3/7 < 1 < 5/2
    • wenn die Brüche beide echte oder beide unechte sind, dabei werden die beteiligten Brüche gleichnamig gemacht, sodass ihre Nenner übereinstimmen, folgen Sie dann der Regel: Je größer der neue Zähler, desto größer der Bruch:
    • 8/9 ? 5/7
    • (8 × 7) / (9 × 7) ? (5 × 9) / (7 × 9)
    • 56/63 > 45/63
    • 8/9 > 5/7

Wie vergleichen sich negative Brüche?

  • Wenn zwei negative Brüche den gleichen Nenner haben, ist der Bruch umso kleiner, je größer der Zähler des Bruchs ist: - 2/7 > - 6/7
  • Wenn zwei negative Brüche gleiche Zähler haben, ist der Bruch umso größer, je größer der Nenner des Bruchs ist: - 5/9 > - 5/7
  • Wenn zwei negative Brüche unterschiedliche Zähler und Nenner haben:
    • Ein negativer echter Bruch (größer als -1) ist größer als ein negativer unechter Bruch (kleiner oder gleich -1):
    • - 3/7 > -1 > - 5/2
    • wenn die Brüche beide echte oder beide unechte sind, dabei werden die beteiligten Brüche gleichnamig gemacht, sodass ihre Nenner übereinstimmen, und der Bruch mit größerem Zähler ist der kleinere:
    • - 8/9 vs. - 5/7
    • - (8 × 7) / (9 × 7) vs. - (5 × 9) / (7 × 9)
    • - 56/63 < - 45/63
    • - 8/9 < - 5/7

Mehr zur Theorie der gemeinsamen Brüche:

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