Cum se compară două fracții pozitive sau negative, subunitare sau supraunitare? Numărători și numitori egali sau diferiți. Exemplu detaliat

Teorie: compararea fracțiilor ordinare

Cum se compară două fracții?

1. Fracții cu NUMITORI EGALI dar numărători diferiți

  • a) Pentru a compara două fracții pozitive care au NUMITORI EGALI, dar numărători diferiți, se compară doar numărătorii: fracția mai mare este cea care are numărătorul mai mare; ex: 24/25 > 19/25
  • b) Pentru a compara două fracții negative care au NUMITORI EGALI, dar numărători diferiți, se compară doar numărătorii: fracția mai mare este cea care are numărătorul mai mic; ex: -19/25 < -17/25
  • c) Pentru a compara două fracții de semn diferit (una pozitivă și una negativă) care au NUMITORI EGALI, dar numărători diferiți, regula este că orice fracție pozitivă este mai mare decât orice fracție negativă; ex: 2/25 > 0 > -1/25

2. Fracții cu NUMĂRĂTORI EGALI, dar numitori diferiți

  • a) Pentru a compara două fracții pozitive care au NUMĂRĂTORI EGALI, dar numitori diferiți, se compară doar numitorii: fracția mai mare este cea care are numitorul mai mic; ex: 24/25 > 24/26
  • b) Pentru a compara două fracții negative care au NUMĂRĂTORI EGALI, dar numitori diferiți, se compară doar numitorii: fracția mai mare este cea care are numitorul mai mare; ex: -17/25 < -17/29
  • c) Pentru a compara două fracții de semn diferit (una pozitivă și una negativă) care au NUMĂRĂTORI EGALI, dar numitori diferiți, regula este că orice fracție negativă este mai mică decât orice fracție pozitivă; ex: -1/25 < 0 < 1/200

3. Fracții cu numitori diferiți, dar și numărători diferiți

  • a) Pentru a compara două fracții de semne diferite (una pozitivă și alta negativă), care au numitori diferiți, dar și numărători diferiți, regula este că orice fracție negativă este mai mică decât orice fracție pozitivă, ex: -11/24 < 0 < 10/13
  • b) Pentru a compara două fracții de același semn (ambele pozitive sau ambele negative), care au numitori diferiți, dar și numărători diferiți, verificăm mai întâi ce fel de fracții avem: fracții subunitare, echiunitare sau supraunitare.
    • Regula este că o fracție supraunitară pozitivă este întotdeauna mai mare decât o fracție echiunitară pozitivă, care la rândul ei e mai mare decât o fracție subunitară pozitivă: 27/25 > 1 > 20/24.
    • În mod similar, o fracție subunitară negativă e mai mare decât o fracție echiunitară negativă, care la rândul ei e mai mare decât o fracție negativă supraunitară: -2/19 > -1 > -40/15
  • c) Pentru a compara două fracții de același semn (ambele pozitive sau ambele negative) și de același tip (subunitare, echiunitare, supraunitare) care au numitori și numărători diferiți, fracțiile trebuie aduse la același numitor (sau dacă e mai ușor, aduse la același numărător). Vezi paragraful următor, 3.c)

3.c) Cum se compară două fracții de același semn (ambele pozitive sau ambele negative) și de același tip - ambele subunitare, (supra/echi)unitare, care au numitori diferiți, dar și numărători diferiți?

Pentru a le compara le vom aduce la același numitor comun, dar se pot aduce și la același numărător comun, dacă asta înseamnă mai puține calcule.


Dacă este cazul, simplifică fiecare fracție în parte.

Calculează cel mai mic multiplu comun CMMMC al numitorilor fracțiilor.

  • Descompune numitorii fracțiilor în factori primi.
  • Cel mai mic multiplu comun, CMMMC, va conține în mod unic toți factorii primi comuni ce apar în descompunerea numitorilor, la puterile cele mai mari.
  • Calculează cel mai mare multiplu comun, pe site-ul numere-prime.ro: cel mai mic multiplu comun a două numere.

Se aduc fracțiile la același numitor, amplificându-le = înmulțind atât numărătorul cât și numitorul unei fracții cu același număr diferit de zero, numit factor de amplificare:

  • Se calculează factorul de amplificare pentru fiecare fracție în parte, astfel: se împarte cel mai mic multiplu comun CMMMC calculat la punctul anterior, la numitorul fiecărei fracții în parte, obținându-se astfel câte un număr întreg, diferit de zero, pentru fiecare fracție în parte, pe care îl numim "factor de amplificare".
  • Se amplifică fiecare fracție (se înmulțește atât numărătorul cât și numitorul fracției) cu "factorul de amplificare" al acelei fracții, calculat la punctul anterior.
  • La acest moment, fracțiile sunt aduse la același numitor, așa că pur și simplu mai rămâne să se compare numărătorii noilor fracții.
  • Fracția mai mare este cea cu numărătorul mai mare, dacă fracțiile sunt pozitive. Dacă sunt negative, fracția mai mare este cea cu numărătorul mai mic.

Exemplu, compară două fracții subunitare de același semn, cu numitori și numărători diferiți, cu explicații: 16/24 vs. 45/75

Simplificăm prima fracție, 16/24

  • Descompune atât numărătorul cât și numitorul în factori primi:
  • 16 = 24;
  • 24 = 23 × 3;
  • Descompune numere în factori primi, automat, online, la adresa de pe numere-prime.ro: descompune numere prime în factori primi.
  • Calculează cel mai mare divizor comun, CMMDC, al numărătorului și al numitorului fracției, înmulțește toți factorii lor primi comuni, la puterile cele mai mici:
  • CMMDC (16; 24) = CMMDC (24; 23 × 3) = 23;
  • Calculează cel mai mare divizor comun, CMMDC, la adresa de pe numere-prime.ro: cel mai mare divizor comun (CMMDC) a două numere.
  • Împarte atât numărătorul cât și numitorul la cel mai mare divizor comun, CMMDC:
  • 16/24 = 24 / (23 × 3) = (24 : 23) / ((23 × 3) : 23) = 2/3.

Simplificăm a doua fracție, 45/75

  • Descompune atât numărătorul cât și numitorul în factori primi:
  • 45 = 32 × 5;
  • 75 = 3 × 52;
  • Calculează cel mai mare divizor comun, CMMDC, al numărătorului și al numitorului fracției, înmulțește toți factorii lor primi comuni, la puterile cele mai mici:
  • CMMDC (45; 75) = CMMDC (32 × 5; 3 × 52) = 3 × 5;
  • Împarte atât numărătorul cât și numitorul la cel mai mare divizor comun, CMMDC:
  • 45/75 = (32 × 5) / (3 × 52) = ((32 × 5) : (3 × 5)) / ((3 × 52) : (3 × 5)) = 3/5.

Fracțiile simplificate sunt:

  • 16/24 = 2/3;
  • 45/75 = 3/5.

Calculăm cel mai mic multiplu comun, CMMMC, al numitorilor noilor fracții obținute prin simplificare:

  • Pentru a calcula CMMMC, descompunem numitorii fracțiilor și înmulțim apoi toți factorii lor primi unici, la puterile cele mai mari.
  • Numitorul fracției 2/3 este 3, număr prim, nu se mai poate descompune în alți factori primi.
  • Numitorul fracției 3/5 este 5, număr prim, nu se poate descompune în alți factori primi.
  • CMMMC (3, 5) = 3 × 5 = 15.

Aducem fracțiile la același numitor, amplificându-le = înmulțind atât numărătorul cât și numitorul unei fracții cu același număr diferit de zero, numit factor de amplificare:

  • Factorul de amplificare se calculează împărțind cel mai mic multiplu comun, CMMMC, la numitorul fiecărei fracții:
  • Factorul de amplificare este pentru prima fracție: 15 : 3 = 5;
  • Factorul de amplificare este pentru a doua fracție: 15 : 5 = 3.
  • Se aduc fracțiile la același numitor, amplificându-le pe fiecare în parte cu "factorul de amplificare" propriu:
  • Prima fracție devine: 2/3 = (5 × 2) / (5 × 3) = 10/15
  • A doua fracție devine: 3/5 = (3 × 3) / (3 × 5) = 9/15
  • Fracțiile avănd acum același numitor, ne mai rămâne doar să comparăm număratorii: 10 > 9 => fracția mai mare este 10/15 > 9/15, ceea ce înseamnă că fracția inițială 16/24 este la rândul ei mai mare decât fracția inițială 45/75.

Mai mult din teoria fracțiilor matematice ordinare: