Dacă avem de impărțit în mod egal 6 mere la 3 copii, atunci efectuăm operația:
- 6 : 3 = 2
- astfel știm că fiecare copil va primi 2 mere.
Dacă va trebui să împărțim în mod egal 2 mere la 3 copii, atunci trebuie rezolvată împărțirea:
- 2 : 3 = ?
- această operație nu are soluție în mulțimea numerelor naturale;
- totuși vom putea efectua împărțirea merelor cu ajutorul cuțitului: cantitatea de măr pentru fiecare copil va fi definită cu ajutorul fracției 2/3
- toate cazurile asemănătoare conduc la fracții.
Fracțiile se formează prin diviziune:
- fiecare fracție are forma a/b
- "a" este numărătorul, scris deasupra liniei fracției;
- "b" este numitorul, scris sub linia fracției; "b" nu poate fi zero;
- "b" ne arată în câte părți egale a fost împărțit "a";
- valoarea fracției se calculează împărțind numărătorul, "a", la numitor, "b":
- "a" : "b"
- aceste fracții, în care atât numărătorul cât și numitorul sunt numere întregi, se numesc fracții ordinare.
Regula semnului când înmulțim sau împărțim:
- (+)(+) = (+)
- (+)(-) = (-); (-)(+) = (-)
- (-)(-) = (+)
Semnul numărătorilor și al numitorilor:
- Numărătorii și numitorii unei fracții pot fi numere întregi pozitive sau negative.
- Exemplu de fracții cu numărători și numitori pozitivi: 7/6, 3/4, 13/20
- Exemplu de fracții cu numărători și numitori negativi: -7/-6, -3/-4, -13/-20
- Exemplu de fracții cu numărători și numitori pozitivi și / sau negativi: -7/6, 3/-4, -13/-20
Semnul unei fracții:
- Semnele de la numărător și de la numitor ale unei fracții sunt scoase în fața acesteia și se combină conform regulii semnului, de mai sus, astfel, fracțiile de mai sus devin:
- -7/-6 = (-)(-)7/6 = (+)7/6 = 7/6
- -3/-4 = (-)(-)3/4 = (+)3/4 = 3/4
- -13/-20 = (-)(-)13/20 = (+)13/20 = 13/20
- -7/6 = (-)(+)7/6 = (-)7/6 = - 7/6
- 3/-4 = (+)(-)3/4 = (-)3/4 = - 3/4
- -13/-20 = (-)(-)13/20 = (+)13/20 = 13/20
Tipuri de fracții ordinare:
- Valoare absolută a unui număr = valoarea numerică a unui număr fără a se lua în considerare semnul său. De exemplu, valoarea absolută a numărului -7 (scris ca │-7│) este 7. Mai multe exemple: |-17| = 17; |10| = 10; |-123| = 123;
- Fracții subunitare: 2/3, 1/7, 5/9, - 11/13, 10/11, -15/-16 - valoarea absolută numărătorului este mai mică decât valoarea absolută a numitorului, deci valoarea absolută a fracției este mai mică decât 1.
- Fracții echiunitare: 5/5, 11/11, -19/19; valoarea absolută a numărătorului este egală cu valoarea absolută a numitorului, deci valoarea absolută a fracției este egală cu 1.
- Fracții supraunitare sau improprii: 4/3, 16/3, 9/8, 123/-13 - valoarea absolută a numărătorului este mai mare decât valoarea absolută a numitorului, deci valoarea absolută a fracției este mai mare decât 1; aceste fracții mai sunt numite și improprii.
- Fracțiile improprii mai pot fi scrise și ca fracții mixte:
- 4/3 = 3/3 + 1/3 = 1 + 1/3, care se scrie: 1 1/3
- 16/3 = 15/3 + 1/3 = 5 + 1/3, care se scrie: 5 1/3
- 9/8 = 8/8 + 1/8 = 1 + 1/8, care se scrie: 1 1/8
- 123/-13 = - 123/13 = - (117 + 6)/13 = - 117/13 - 6/13 = - 9 - 6/13, care se scrie: - 9 6/13
- Se observă că o fracție mixtă este formată dintr-un întreg și o fracție subunitară, ambele având același semn.
- Dacă numărătorul unei fracții este egal cu numitorul altei fracții și invers, atunci fracțiile se numesc inverse sau inversate. Ex: 3/5 și 5/3; 17/6 și 6/17 - produsul dintre o fracție și inversata sa este 1.
Cum se compară fracțiile pozitive:
- Dacă două fracții pozitive au același numitor, atunci fracția care are numărătorul mai mare este mai mare decât cealaltă: 2/7 < 6/7. De ce? 7 părți dintr-un număr mai mare, 6, este întotdeauna mai mare decât 7 părți dintr-un număr mai mic, 2;
- Dacă două fracții pozitive au același numărător, fracția cu numitor mai mare este mai mică decât cealaltă: 5/9 < 5/7. De ce? Când împărțim aceeași cantitate, 5, în mai puține părți, 7, rezultatul e mai mare decât atunci când o împărțim în mai multe părți, 9;
- În cazul a două fracții pozitive cu numărători și numitori diferiți:
- orice fracție pozitivă subunitară (care e mai mică decât 1) e mai mai mică decât orice fracție echiunitară (care e egală cu 1), care la rândul său e mai mică decât orice fracție supraunitară (care e mai mare decât 1):
- 3/7 < 1 < 5/2
- dacă fracțiile sunt ambele subunitare sau supraunitare, ele se aduc mai întâi la același numitor, fracția cu numărător mai mare este mai mare decât cealaltă:
- 8/9 ? 5/7
- (8 × 7) / (9 × 7) ? (5 × 9) / (7 × 9)
- 56/63 > 45/63
- 8/9 > 5/7
Cum se compară fracțiile negative:
- Dacă două fracții negative au același numitor, atunci fracția care are numărătorul mai mare este mai mică decât cealaltă: - 2/7 > - 6/7
- Dacă două fracții negative au același numărător, fracția cu numitor mai mare este mai mare decât cealaltă: - 5/9 > - 5/7
- În cazul a două fracții negative cu numărători și numitori diferiți:
- orice fracție negativă subunitară (care e mai mare decât -1) e mai mai mare decât orice fracție echiunitară negativă (care e egală cu -1), care la rândul său e mai mare decât orice fracție supraunitară negativă (care e mai mică decât -1):
- - 3/7 > -1 > - 5/2
- dacă fracțiile sunt ambele subunitare sau supraunitare, ele se aduc mai întâi la același numitor, fracția cu numărător mai mare este mai mică decât cealaltă:
- - 8/9 ? - 5/7
- - (8 × 7) / (9 × 7) ? - (5 × 9) / (7 × 9)
- - 56/63 < - 45/63
- - 8/9 < - 5/7