Fracții, teorie: cum se compară două fracții cu ambii numărători și numitori diferiți?

Teorie: compararea fracțiilor ordinare

Cum se compară două fracții?

1. Fracții cu NUMITORI EGALI dar numărători diferiți

  • a) Pentru a compara două fracții pozitive care au NUMITORI EGALI, dar numărători diferiți, se compară doar numărătorii: fracția mai mare este cea care are numărătorul mai mare; ex: 24/25 > 19/25
  • b) Pentru a compara două fracții negative care au NUMITORI EGALI, dar numărători diferiți, se compară doar numărătorii: fracția mai mare este cea care are numărătorul mai mic; ex: -19/25 < -17/25
  • c) Pentru a compara două fracții de semn diferit (una pozitivă și una negativă) care au NUMITORI EGALI, dar numărători diferiți, regula este că orice fracție pozitivă este mai mare decât orice fracție negativă; ex: 2/25 > -1/25

2. Fracții cu NUMĂRĂTORI EGALI, dar numitori diferiți

  • a) Pentru a compara două fracții pozitive care au NUMĂRĂTORI EGALI, dar numitori diferiți, se compară doar numitorii: fracția mai mare este cea care are numitorul mai mic; ex: 24/25 > 24/26
  • b) Pentru a compara două fracții negative care au NUMĂRĂTORI EGALI, dar numitori diferiți, se compară doar numitorii: fracția mai mare este cea care are numitorul mai mare; ex: -17/25 < -17/29
  • c) Pentru a compara două fracții de semn diferit (una pozitivă și una negativă) care au NUMĂRĂTORI EGALI, dar numitori diferiți, regula este că orice fracție negativă este mai mică decât orice fracție pozitivă; ex: -1/25 < 1/200

3. Fracții cu numitori diferiți, dar și numărători diferiți

  • a) Pentru a compara două fracții de același semn (ambele pozitive sau ambele negative), care au numitori diferiți, dar și numărători diferiți, fracțiile trebuie aduse la același numitor (sau dacă e mai ușor, aduse la același numărător). Vezi paragraful următor, 3.a)
  • b) Pentru a compara două fracții de semne diferite (una pozitivă și una negativă), care au numitori diferiți, dar și numărători diferiți, regula este că orice fracție negativă este mai mică decât orice fracție pozitivă, ex: -11/24 < 10/13

3.a) Cum se compară două fracții de același semn (ambele pozitive sau ambele negative), care au numitori diferiți, dar și numărători diferiți? Vom aduce fracțiile la același numitor comun, dar se poate merge și pe varianta cu aducerea la același numărător comun.

Dacă este cazul, se simplifică fiecare fracție în parte.

Se calculează cel mai mic multiplu comun CMMMC al numitorilor fracțiilor.

  • Se descompun numitorii fracțiilor în factori primi.
  • Cel mai mic multiplu comun CMMMC va conține în mod unic toți factorii primi ce apar în descompunerea numitorilor, la puterile cele mai mari.
  • Dacă nu știi cum, sau vrei să recapitulezi procesul, accesează adresa de pe site-ul numere-prime.ro: cel mai mic multiplu comun a două numere.

Se aduc fracțiile la același numitor.

  • Se calculează factorul de amplificare pentru fiecare fracție în parte, astfel: se împarte cel mai mic multiplu comun CMMMC calculat la punctul anterior, la numitorul fiecărei fracții în parte, obținându-se astfel câte un număr întreg, diferit de zero, pentru fiecare fracție în parte, pe care îl numim "factor de amplificare".
  • Se amplifică fiecare fracție (se înmulțește atât numărătorul cât și numitorul fracției) cu "factorul de amplificare" al acelei fracții, calculat la punctul anterior.
  • La acest moment, fracțiile sunt aduse la același numitor, așa că pur și simplu mai rămâne să se compare numărătorii noilor fracții obținute prin simplificare și prin aducerea la același numitor.
  • Fracția mai mare este cea cu numărătorul mai mare, dacă fracțiile sunt pozitive. Dacă sunt negative, fracția mai mare este cea cu numărătorul mai mic.

Un exemplu de comparare a două fracții de același semn cu numitori și numărători diferiți, cu explicații: 16/24 vs. 45/75

Simplificăm fiecare fracție în parte:

  • Se descompune atât numărătorul cât și numitorul fiecărei fracții în factori primi
  • Se împarte atât numărătorul cât și numitorul la numărul ce conține în mod unic toți factorii primi comuni, la puterile cele mai mici - acesta este cel mai mare divizor comun
  • Dacă nu mai știi cum să calculezi cel mai mare divizor comun, accesează adresa de la numere-prime.ro: cel mai mare divizor comun (CMMDC) a două numere.
  • Simplificăm fracția 16/24 = 24 / (23 * 3) = (24 : 23) / ((23 * 3) : 23) = 2/3.
  • Simplificăm fracția 45/75 = (32 * 5) / (3 * 52) = ((32 * 5) : (3 * 5)) / ((3 * 52) : (3 * 5)) = 3/5.
  • La acest moment, fracțiile sunt simplificate: 16/24 = 2/3 și 45/75 = 3/5.

Calculăm cel mai mic multiplu comun, CMMMC, al numitorilor noilor fracții obținute prin simplificare:

  • Descompunem numitorii fracțiilor și alegem toți factorii primi conținuți, în mod unic, la puterile cele mai mari.
  • Descompunerea numitorului fracției 2/3: numitorul fracției este 3, e număr prim, nu se mai poate descompune în factori primi.
  • Descompunerea numitorului fracției 3/5: numitorul fracției este 5, e număr prim, nu se poate descompune în factori primi.
  • Cel mai mic multiplu comun trebuie să conțină în mod unic toți factorii primi care apar în descompunerea numitorilor, la puterile cele mai mari: CMMMC (3, 5) = 3 * 5 = 15.

Se aduc fracțiile la același numitor:

  • Factorul de amplificare se calculează împărțind cel mai mic multiplu comun, CMMMC, la numitorul fiecărei fracții:
  • factorul de amplificare este pentru prima fracție: 15 : 3 = 5
  • factorul de amplificare este pentru a doua fracție: 15 : 5 = 3.
  • Se aduc fracțiile la același numitor, amplificându-le pe fiecare în parte cu "factorul de amplificare" propriu:
  • prima fracție devine: 2/3 = (5 * 2) / (5 * 3) = 10/15
  • a doua fracție devine: 3/5 = (3 * 3) / (3 * 5) = 9/15
  • Evident, fracția mai mare este 10/15, care este mai mare decât 9/15, ceea ce înseamnă că fracția inițială 16/24 este la rândul ei mai mare decât fracția inițială 45/75.

Mai mult din teoria fracțiilor matematice ordinare:

Operații cu fracții ce pot fi efectuate automat, cu explicații: