Fracții, teorie și operații: adunare, scădere, înmulțire, împărțire, simplificare, comparație, ordonare

Ce reprezintă fracțiile?

Dacă avem de impărțit în mod egal 6 mere la 3 copii, atunci dividem 6 la 3 obținând 2 și știm că fiecare copil va primi 2 mere. Dacă va trebui să împărțim 2 mere la 3 copii, atunci trebuie rezolvată împărțirea 2:3.

Această operație, 2:3, nu are soluție în mulțimea numerelor naturale. Totuși vom putea efectua împărțirea merelor cu ajutorul cuțitului. Cantitatea de măr va fi definită cu ajutorul fracției 2/3. Toate cazurile asemănătoare conduc la fracții.

Fracțiile se formează prin diviziunea unuia sau mai multor întregi:

Fiecare fracție are forma p/q, unde "p" este numărătorul, iar "q" este numitorul. Numărătorul, "p", termen al fracției, este scris deasupra liniei de fracție, iar numitorul, "q", scris sub linia de fracție, ne arată în câte părți a fost împărțit întregul, "p".

Aceste fracții, în care atât numărătorul cât și numitorul sunt numere întregi, se numesc fracții ordinare.

Numărătorii și numitorii unei fracții pot fi și negativi, ex: -3/5; -2/-9; 7/-4; datorită regulii semnului: -3/5 = 3/-5 = -(3/5); -2/-9 = 2/9; 7/-4 = -7/4 = -(7/4).

Tipuri de fracții ordinare:

  • Subunitare: 2/3, 1/7, 5/9, -11/13, 10/11, 15/-16; valoarea absolută (vezi mai jos Explicația 1) a numărătorului este mai mică decât valoarea absolută a numitorului, deci valoarea absolută a fracției este mai mică decât 1.
  • Unitare: 5/5, 11/11, -19/19; valoarea absolută a numărătorului este egală cu valoarea absolută a numitorului, deci valoarea absolută a fracției este egală cu 1.
  • Supraunitare sau improprii: 4/3, 16/3, 9/8, 123/-13; valoarea absolută a numărătorului este mai mare decât valoarea absolută a numitorului, deci valoarea absolută a fracției este mai mare decât 1; aceste fracții mai sunt numite și improprii.
      Fracțiile improprii mai pot fi scrise și ca fracții mixte:
    • 4/3 = 3/3 + 1/3 = 1 + 1/3, care se scrie: 11/3
    • 16/3 = 15/3 + 1/3 = 5 + 1/3, care se scrie: 51/3
    • 9/8 = 8/8 + 1/8 = 1 + 1/8, care se scrie: 11/8
    • 123/-13 = -123/13 = - (117 + 6) / 13 = - 117/13 - 6/13 = - 9 - 6/13, care se scrie: -96/13

(Explicația 1) Valoare absolută = valoarea numerică a unui număr, dar fără a se lua în considerare semnul său. De exemplu, valoarea absolută a numărului -7 (scris ca │-7│) este 7. Mai multe exemple: |-17| = 17; |10| = 10; |-123| = 123; ...

    Dacă numărătorul unei fracții este egal cu numitorul altei fracții și invers, atunci fracțiile se numesc inverse:
  • 3/5 și 5/3
  • 17/6 și 6/17

Cum se compară fracțiile:

  • Dacă două fracții au același numitor, atunci fracția care are numărătorul mai mare este mai mare decât cealaltă: 2/7 < 6/7.
  • Dacă două fracții au același numărător, fracția cu numitor mai mare este mai mică decât cealaltă: 5/9 < 5/7
  • În cazul a două fracții cu numărători și numitori diferiți, se aduc mai întâi fracțiile la același numitor, fracția cu numărător mai mare este mai mare decât cealaltă: 8/9 ? 5/7 => (8 * 7) / (9 * 7) ? (5 * 9) / (7 * 9) => 56/63 > 45/63

Mai mult din teoria fracțiilor matematice ordinare:

Operații cu fracții ce pot fi efectuate automat, cu explicații: