Fracţii, teorie şi operaţii: adunare, scădere, înmulţire, împărţire, simplificare, comparaţie, ordonare

Ce reprezintă fracţiile?

Dacă avem de impărţit în mod egal 6 mere la 3 copii, atunci dividem 6 la 3 obţinând 2 şi ştim că fiecare copil va primi 2 mere. Dacă va trebui să împărţim 2 mere la 3 copii, atunci trebuie rezolvată impărţirea 2:3.

Această operaţie nu are soluţie în mulţimea numerelor naturale. Totuşi vom putea efectua împărţirea merelor cu ajutorul cuţitului. Cantitatea de măr va fi definită cu ajutorul fracţiei 2/3. Toate cazurile asemănătoare conduc la fracţii. Fracţiile se formează prin diviziunea a unuia sau a mai multor întregi.

Fiecare fracţie are forma p/q. Numărătorul "p" ne indică numărul de părţi, iar numitorul "q" ne arată în câte părţi a fost împărţit întregul.

Fracţiile pot fi: subunitare (2/3, 1/7, 5/9, 10/11) unitare (5/5, 11/11) sau supraunitare (4/3, 16/3, 9/8), care mai sunt numite şi improprii.

Dacă numărătorul unei fracţii este egal cu numitorul altei fracţii şi invers, atunci fracţiile se numesc inverse: 3/5 si 5/3; 17/6 şi 6/17.

Dacă două fracţii au acelaşi numitor, atunci fracţia care are numărătorul mai mare este mai mare decât cealaltă: 2/7 < 6/7.

În cazul numărătorilor egali, fracţia cu numitor mai mare este mai mică decât cealaltă: 5/9 < 5/7

În cazul a două fracţii cu numărători şi numitori diferiţi, se aduc mai înâi fracţiile la acelaşi numitor, fracţia cu numărător mai mare este mai mare decât cealaltă: 8/9 ? 5/7 => (8*7)/(9*7) ? (5*9)/(7*9) => 56/63 > 45/63

Numărătorii şi numitorii unei fracţii pot fi şi negativi, ex: -3/5; -2/-9; 7/-4; datorită regulii semnului: -3/5 = 3/-5 = -(3/5); -2/-9 = 2/9;

Schimbări de formă

Dacă împărţim întregul numai în 3 părţi egale şi luăm din el o parte, avem aceeaşi cantitate ca şi când am împărţi numărul în 6 părţi egale şi luăm 2 părţi, astfel, 1/3 = 2/6. Conform celor afirmate, putem scrie: 2/5 = 4/10; 5/3 = 20/12; 2/3 = 4/6 = 6/9 = ...

Dacă numărătorul şi numitorul unei fracţii sunt multiplii numărătorului şi numitorului altei fracţii, spunem că fracţia s-a obţinut prin amplificarea celei de a doua fracţii. De exemplu, 8/9 = (8*5) / (9*5) = 40/45.

Amplificarea înseamnă înmulţirea numitorului şi numărătorului prin acelaşi număr. Amplificarea fracţiei a/b = (a*c) / (b*c).

Operaţia inversă amplificării se numeşte simplificare. Simplificarea fracţiei a/b = (a/c) / (b/c).

Se poate simplifica orice fracţie în care numitorul şi numărătorul conţin factori identici. Operaţia 2/7 = (2*3) / (7*3) = 6/21 reprezintă, de la stânga la dreapta, o amplificare, iar de la dreapta la stânga o simplificare. Este indicată simplificarea fracţiilor, deoarece prin această operaţie se micşorează atât valoarea numitorului cât şi a numărătorului.

Număr raţional

Toate fracţiile 3/4; 6/8; ...; 27/36; ... obţinute prin simplificare sau amplificare, care reprezintă aceeaşi cantitate, reprezintă, un număr raţional unic 3/4. Deci 3/4 are un dublu sens: reprezintă o fracţie şi un număr raţional, adică reprezintă toate fracţiile obţinute din 3/4 prin amplificare. Şi fracţiile cu numitorul 1 şi cele obţinute prin amplificarea lor sunt conţinute tot în mulţimea numerelor raţionale; de ex. 3/1 = 6/2 = ... = 18/6 = ... Ele pot fi substituite una alteia. Numărul întreg 0 poate fi înlocuit cu o mulţime de fracţii care au numărătorul 0. Numitorul 0 este exclus.

Ordonarea numerelar raţionale. Ca şi în cazul numerelor naturale sau întregi, avem şi în cazul a două numere raţionale r1 < r2, r1 = r2 sau r1 > r2. Pentru a aşeza mai multe fracţii date în ordinea lor de mărime le aducem la acelaşi numitor. Prin aceasta, unităţile fracţionare fiind aceleaşi, numărătorii ne vor arăta ordinea de mărime; 7/12 = (7*5) / (12*5) = 35/60 şi 11/20 = (11*3) / (20*3) = 33/60, 35/60 > 33/60, deci 7/12 > 11/20.

Câteodată este mai simplu să aducem fracţiile la o formă, încât să aibă acelaşi numărător. 3/15 = (3*5) / (15*5) = 15/75 şi 5/28 = (5*3) / (28*3) = 15/84. 15/75 > 15/84 => 3/15 > 5/28. Dacă două fracţii au acelaşi numărător, este mai mare fracţia cu numitor mai mic. În mulţimea numerelor raţionale nu există cel mai mic şi nici cel mai mare număr. Un număr raţional nu are un predecesar sau succesor unic. Între două numere raţionale r1 şi r2 există o mulţime infinită de numere raţionale r.